Logika

Lekcije su preuzete sa sajta http://kif.filozofijainfo.com/

 

ODNOSI ISKAZA U TRADICIONALNOM LOGIČKOM KVADRATU

Najpre ćemo ponoviti kako se iskazi koji imaju predikatsku formu (S ni/je P) dele po kvantitetu i kvalitetu.

Po kvantitetu iskazi se dele na univerzalne, partikularne i singularne. Univerzalni iskazi govore nešto o svim članovima neke klase, partikularni tvrde da barem jedan član klase ima neku osobinu (a možda i svi), a singularni govore o jednom pojedinačnom članu klase.

Po kvalitetu iskazi se dele na afirmativne, negativne i limitativne. Afirmativni tvrde da subjekt ima neku osobinu, negativni da nema neku osobinu, a limitativni da ima neku osobinu koja je opisana negacijom.

U tabeli to izgleda ovako:

Dakle, univerzalni stavovi mogu biti i afirmativni i negativni i limitativni, kao i partikularni i singularni stavovi. Ali u logičkom kvadratu javljaju se samo univerzalni i partikularni, odnosno afirmativni i negativni stavovi, u svim kombinacijama.

Primere logičkih kvadrata možemo napraviti polazeći od univerzalno-afirmativnih stavova:

Svi dobri filmovi su holivudski.

Svi fakulteti su privatni.

Svi ljudi su dobri.

Svaki realiti-šou je dosadan.

Svi beogradski tramvaji su udobni.

Kakvi odnosi postoje u logičkom kvadratu? Prvo ćemo obraditi tradicionalno  tumačenje logičkog kvadrata, a onda i savremeno tumačenje.

Tradicionalno tumačenje odnosa u logičkom kvadratu

Da počnemo od kontradiktornosti.

Stavovi koje spajaju dijagonale kvadrata su kontradiktorni, što znači da ako je stav na jednom kraju dijagonale istinit, stav na drugom mora biti neistinit, i obrnuto, ako je stav na jednom kraju neistinit, satv na drugom je istinit.

na primer, Ako je tačno  da su svi ljudi dobri, onda nije tačno da neki ljudi nisu dobri.

Stavovi “Svi ljudi su dobri” i “Nijedan čovek nije dobar” su kontrarni (suprotni). To znači da ako je jedan od tih stavova istinit, drugi mora biti neistinit. Ali, ako je jedan od tih staviova neistinit, drugi ne mora biti istinit. Drugim rečima, kontrarni stavovi mogu oba biti neistiniti, kao što boja nečega može biti i drugačija, a ne samo bela ili crna.

Stavovi “Svi ljudi su dobri” i “Neki ljudi su dobri” su subordinirani. To znači da ako je stav “Svi ljudi su dobri” istinit, stav “Neki ljudi su dobri” mora biti istinit. Obrnuto ne važi – ako je stav “Neki ljudi su dobri” istinit, stav “Svi judi su dobri” ne mora biti istinit.

Međutim, ako stav “Svi ljudi su dobri” nije istinit, ne mora biti istinit ni stav “Neki ljudi su dobri”. Isto važi i za subordiniranost na negativnoj strani.

Stavovi “Neki ljudi su dobri” i “Neki ljudi nisu dobri” su podsuprotni ili subkontrarni.To znači da oni mogu biti oba istiniti, kao kada kažemo “Neki jesu, a neki nisu…”, ali ne mogu biti oba neistiniti, jer mora biti da je tačno da članovi klase jesu ili nisu nešto, ovde mora biti tačno da su članovi klase ili dobri ili nisu dobri. Takođe, jedan iskaz iz para podsuprotnih iskaza može biti istinit, a jedan nesitinit, pošto je značenje iskaza “Neki S su P” – “Neki S, a možda i svi su P”, a u slučaju da su svi S P, nije tačno da neki S nisu P.

Da bi se lakše snalazili u logičkom kvadratu još u srednjem veku svakom stavu u logičkom kvadratu pridruženo je jedno veliko slovo.

univerzalno-afirmativnom sudu    A

univerzalno-negativnom    E

partikularno-afirmativnom      I

partikularno-negativnom      O

dakle, A E I O.

Savremeno tumačenje odnosa u logičkom kvadratu

U savremenom tumačenju logičkog kvadrata univerzalni sudovi se tumače tako da ne tvrde egzistenciju, nego samo hipotetičku vezu, dok partikularni sudovi tvrde egzistenciju.

To znači da se iskaz:

“Svi ljudi su dobri”tumači kao “ako postoji nešto takvo kao čovek, onda su svi ljudi dobri”

međutim, iskaz “Neki ljudi su dobri” tumači se kao “Postoji barem jedan čovek koji je dobar”.

To znači da se u savremenom tumačenju menjaju neki odnosi među ovim stavovima. O tome u sledećoj lekciji.

ODNOSI ISKAZA U LOGIČKOM KVADRATU PO SAVREMENOM TUMAČENJU

Za razliku od tradicionalnog tumačenja odnosa iskaza u logičkom kvadratu, u savremenom tumačenju univerzalni iskazi „Svi S su P“ i „Nijedan S nije P“ tumače se kao hipotetičkiiskazi, dok su partikularni iskazi zadržaliegzistencijalno značenje.

To znači da se „Svi S su P“ sada  tumači kao „Ako S postoje, onda za sve S važi da su P“, dok se „Neki S su P“ tumači kao „Postoje neki S i oni su P“.

Pošto univerzalni iskazi, po savremenom tumačenju, ne tvrde postojanje, a partikularni tvrde, stari odnosi među AEIO iskazima više ne važe.

Savremeno tumačenje odnosa između AEIO iskaza uveo je Džordž Bul u 19. veku, a podržao ga je Džon Ven, koji je našao način da se ovi iskazi prikažu pomoću dijagrama, koji su sada poznati kao Venovi dijagrami.

Evo ih na jednoj slici:

Gornji Venovi dijagrami koriste znak P’ za ne-P i S’za ne-S. Pravougaonik oko krugova predstavlja univerzum govora, odnosno ukupan zbir logičkih mogućnosti.

Sada kada to znamo, ponovo možemo da razmotrimo sve tradiconalne odnose u logičkom kvadratu.

Odnos subordiniranosti između A i I iskaza i E i O iskaza je najočiglednije izostao. Ako „Svi S su P“, sada znači „ako postoje S, svi S su P“ iz tog iskaza sigurno ne sledi „postoje barem neki S i oni su P“.

Takođe, ne važi ni odnos suprotnosti iz tradicionalnog tumačenja koji je zabranjivao da A i E iskazi budu istovremeno istiniti. Ako pogledamo Venove dijagrame za A i E stav, oni tvrde da u dve različite oblasti nema ničega, u oblasti preseka S i P i u oblasti preseka S i P’, što je moguće i logično, ako S ne postoji. Pošto su sada univerzlani iskazi shvaćeni kao implikacije, koje su uvek istinite ako je prvi član implikacije neistinit (S ne postoji) sama implikacija je tada istinita bilo da je drugi član implikacije istinit ili neistinit.

Odnos podsuprotnosti takođe prestaje da važi, jer ako S ne postoji, može biti neistinito i „Neki S su P“ i „Neki S nisu P“. Ponovo se na Venovim dijagramima vidi da I i O iskazi tvrde da u dva dela S „ima nečega“, što može biti istovremeno neistinito, što nije bilo moguće u tradicionalnom tumačenju.

Ali, odnos kontradiktornosti između A i O i E i I ostaje. Na Venovim dijagramima se vidi da oni zaista tvrde nešto protivrečno, pošto za iste oblasti tvrde da u njima ima, odnosno, nema ničega. Najkraće se AEIO iskazi mogu zapisati ovako:
A    –    sp’=0

E     –    sp=0

I      –    sp≠0

O    –    sp’≠0

Iz ovog najjednostavnijeg zapisa, koji operiše samo sa pojmom preseka, ponovo se vidi da odnos protivrečnosti ostaje da važi.

Savremeno tumačenje odnosa u logičkom kvadratu predstavlja prilagođavanje činjenici da univerzalni iskazi u nauci izražavaju hipoteze, zbog hipotetičkog karaktera nauke oko koga su se filozofi i naučnici složili u 19. i 20 veku. Hipoteze se iražavaju “ako…onda…” formom i mogu se  opvrgnuti eksperimentom, a često su izraženi preko predmeta koji ne postoje, poput formulacije Prvog Njutnovog zakona: “Sva tela na koje ne deluju sile teže da ostanu u stanju mirovanja ili pravolinijskog jednoličnog kretanja.”

Tradicionalno tumačenje i savremeno tumačenje logičkog kvadrata i odnosa između AEIO iskaza nisu protivrečni jer govore o različitim AEIO iskazima, koji su različito protumačeni. Tradicionalno tumačenje je upotrebljivije u svakodnevnom životu i većem delu prirodnih i društvenih nauka, gde obično govorimo o subjektima za koje znamo da postoje, a savremeno tumačenje u naukama koje operišu sa apstrakcijama za koje ne znamo da li postoje.

ZAKLJUČIVANJE I VALJANO ZAKLJUČIVANJE

Zaključivanje je možda najbolje definisaoImanuel Kant: zaključivanje je proces izvođenja jednog stava iz jednog ili više drugih stavova. Onda kada možemo opravdati uverenje da je zaključak već bio sadržan u premisama, odnosno, da zaključak mora biti istinit ako su premise istinite, onda je zaključivanje deduktivno. Ali, mi ne možemo da zaključujemo samo deduktivno, jer bi to pretpostavljalo da odnekud sve već znamo, da nam je sve već sadržano u premisama. Zato postoje i druge vrste zaključivanja, kao što je induktivno ili analoško.

U najširem smislu, zaključivanje je, dakle, proces kojim, sledeći pravila mišljenja, od jedne skupine stavova dolazimo do nekog novog stava.

Stavovi na osnovu kojih zaključujemo nazivaju se premise, a stav koji izvodimo iz premisa naziva se zaključak ili konkluzija. Logički valjano u užem smislu je samo deduktivno zaključivanje, jer jedino ono „čuva istinitost“, odnosno, ne dodaje ništa premisama, nego samo iz njih izvodi ono što je već implicitno sadržano u njima. Pravilo o čuvanju istnitosti označava se i kao pravilo „salva veritate“.

Zaključivanje iz jedne premise naziva se neposredno zaključivanje, a iz dve ili više premisa posredno zaključivanje. Ako stavove ili iskaze koji su uzeti kao premise označimo velikim slovima A, B, C …, možemo zabeležiti tvrdnju da zaključak Z sledi iz premisa na ovaj način:

A, B, C, …. → Z

ili A, B, C, … ├ Z

Kada definiciju valjanog zaključivanja koja kaže da je valjano ono zaključivanje kod koga je zadovoljen uslov da ako su premise istinite, zaključak mora biti istinit analiziramo, dolazimo do toga da možemo razlikovati valjano zaključivanje u širem i valjano zaključivanje u užem smislu.

Valjano zaključivanje u širem smislu je svako pojedinačno zaključivanje koje ne krši osnovno pravilo. Ovako shvaćena valjanost sledi pravila ustanovljena za implikaciju koja je istinita u svim slučajevima, osim kada iz ┬ → ┴. To znači da će biti valjana i sva zaključivanja do kojih smo došli polazeći od neistinitih stavova, a takođe i sva zaključivanja kod kojih je zaključak istinit i premise istinite, čak iako oni nisu u nekoj neposrednoj logičkoj vezi.

Valjano zaključivanje u užem smislu je ono zaključivanje čiji oblik obezbeđuje da se ispoštuje osnovno pravilo o valjanosti, odnosno da se ne može dogoditi da u nekom pojedinačnom slučaju zaključivanja prema tom obliku zaključivanja premise budu istinite a zaključak neistinit.

Razliku između ove dve valjanosti možemo da utvrdimo ovako ako uporedimo ova dva primera.

Ako recimo zaključujemo ovako:

Neboderi su visoki.

Delfini su inteligentni.

→ Ptice su kičmenjaci.

nismo prekršili osnovno pravilo valjanog zaključivanja, odnosno iz istinitih premisa izveli smo istinit zaključak.

Međutim, ako ovo zaključivanje prebacimo u apstraktnu formu:

A je B

C je F

→ D je G

vidimo da ova forma uopšte ne obezbeđuje da ako su premise istinite zaključak mora biti istinit, jer se u zaključku javljaju sasvim novi termini koji mogu biti u iskazu koji je neistinit. (na primer: „Ptice su sisari“)

nasuprot tome svaki ispravan oblik zaključivanja, kao što je na primer ovaj:

Sve ptice su kičmenjaci.

Svi galebovi su ptice.

→ Svi galebovi su kičmenjaci.

ima zaista formu Svi A su B, Svi C su A →Svi C su B, kod koje se zaista ne može dogoditii da ako su premise istinite zaključak bude neistinit.

Ova dva vida valjanosti nadopunjuju jedan drugi. Prva, šira valjanost ne ulazi u pitanje oblika zaključivanja, već samo na zaključivanje primenjuje pravila implikacije, koja je i sama obik zaključivanja (p sledi q).

Druga, uža definicija bavi se unutrašnjom formom zaključivanja. Aristotel je podrobno opisao proces zaključivanja u kome učestvuju stavovi iskazani u predikatskoj formi i opisao pravila silogizma, zaključivanja iz dve premise. Savremena logika daje pravila zaključivanja preko tautologija, stavova koji su uvek logički istiniti i koji se zbog toga mogu koristiti u zaključivanju a da se ne naruši osnovno pravilo valjanog zaključivanja da iz istinitih premisa ne sme slediti neistinit zaključak.

Drugo ime za valjano zaključivanje je deduktivno zaključivanje. Kao i u drugim slučajevima o kojima smo govorili, u okviru tradicionalne logike termin „deduktivno“ se koristi u nešto užem značenju. Uvek je slučaj da svako valjano zaključivanje u užem značenju mora biti valjano i u širem značenju, ali ne važi obrnuto, kao što smo videli.

VRSTE ZAKLJUČIVANJA

Već smo rekli da su u Aristotelovskoj logici svi stavovi imali predikatsku formu S je P, odnosno S nije P, a delili su se na univerzalne, partikularne i pojedinačne (singularne) stavove. Aristotel je i vrste zaključivanja definisao polazeći od ovog modela.

Tako je deduktivno zaključivanje bilo ono koje polazi od univerzalnih stavova i iz njih izvodi partikularne ili singularne stavove, poštujući osnovno pravilo valjanog zaključivanja.

Primer za deduktivno zakljuivanje koji je ovekovečio Aristotel, odajući i priznanje svom posrednom učitelju bio je:

Svi ljudi su smrtni

Sokrat je čovek

→ Sokrat je smrtan

Induktivno zaključivanje se kretalo u suprotnom pravcu. Ono je polazilo od singularnih stavova i dolazilo do univerzalnih stavova. Nevolja je bila u tome što induktivno zaključivanje nije striktno valjano.

na primer: Pjer ne zna nijedan drugi jezik osim francuskog

                 Fransoa, Žan, Mari, Izabel takođe…

                 → Svi Francuzi i Francuskinje ne znaju strane jezike.

Zaključak koji je izveden iz skupa pojedinačnih slučaja, ne sledi iz premisa jer se u njemu tvrdi da svi članovi neke klase imaju neku osobinu, dok je to provereno samo za nešto manji broj njih. U prirodnim ili egzaktnim naukama klase o kojiima se nešto tvrdi su beskonačne (npr. „sva tela“, ili „svi brojevi“) pa nismo u stanju da proverimo ceo obim univerzalnih iskaza.

Zaključivanje po analogiji je bilo ono koje je polazilo od premisa od kojih je jedna govorila o sličnosti dvaju predmeta ili klasa predmeta, a onda se zaključivalo da ako jedna klasa ima neku osobinu, onda je verovatno ima i druga.

na primer: Sve ptice imaju kljun.

                  Kljunar takođe ima kljun (sličan je pticama)

                  → Kljunar je ptica.

Ovaj zaključak, izveden po analogiji, je netačan, neistinit (kljunar je sisar), ali zaključci iz analogije mogu biti i istiniti, samo je njihovu istinitost uvek potrebno proveriti na nezavisan način od same sličnosti, pošto sama analogija ne daje garanciju da je istina sačuvana u zaključku.

I u savremenoj logici razlikuje se samo deduktivno i induktivno zaključivanje. Deduktivno zaključivanje je ono koje sledeći pravila koja čuvaju istinu ne krši zahtev da iz istinitih premisa mora slediti istinit zaključak, dok se induktivnim zaključivanjem dobijaju samo manje ili više verovatni iskazi.

Kada posmatramo naučni proces teško je odvojiti indukciju (zaključivanje iz iskustva) i dedukciju, logičko izvođenje posledica iz pretpostavki formulisanih u obliku univerzalnih (opštih) iskaza. Sigurno je da eksperimenti, koji svi daju samo singularne iskaze, pomažu u formulisanju novih hipoteza, ali je isto tako moguće do nove hipoteze doći analogijom ili na bilo koji drugi način, iz nje dedukovati posledice, a onda ih proveravati eksperimentima.

Već smo rekli da razlikujemo neposredno i posredno zaključivanje. Neposredno zaključivanje je ono kod koga se polazi od jedne premise i svi pojmovi koji se pojavljuju u premisama pojavljuju se i u zaključku.

na primer: Neki deoničari su radnici → Neki radnici su deoničari

Posredno zaključivanje je zaključivanje iz dve ili više premisa, kod koga se neki od pojmova (tzv. srednji termini) koji se pojavljuju u premisama, ne pojavljuju u zaključku. Forme neposrednog zaključivanja su konverzija, obverzija i kontrapozicija, dok je najpoznatije posredno zaključivanje silogizam.

NEPOSREDNO ZAKLJUČIVANJE

U prošloj lekciji definisali smo neposredno zaključivanje kao zaključivanje iz jedne premise pri kome se svi pojmovi koji se nalaze u premisama pojavljuju i u zaključku. Razlikujemo tri oblika takvog zaključivanja: konverziju, obverziju i kontrapoziciju.

Oblici neposrednog zaključivanja

Konverzija

Konverzija je oblik zaključivanja u kome iz jednog AEIO stava zaključujemo na novi stav u kome su zamenjena mesta subjekta i predikata u odnosu na prvi stav.

na primer, iz I stava Neki S su P neposredno zaključujemo da Neki P jesu S, tako što smo zamenili mesta S i P u iskazu.

Na primer, iz stava Neki režiseri su muzičari sledi Neki muzičari su režiseri, iz Neki delfini žive u slatkoj vodi sledi Neke slatkovodne životinje su delfini.

Potpunu konverziju, imaju samo E i I stavovi. Iz Nijedan S nije P sledi Nijedan P nije S, takođe, kao što smo već rekli, iz Neki S su P sledi Neki P su S. Potpuna konverzija znači da se konverzijom dobija logički ekvivalentan stav, odnosno, stav koji je uvek istinit kada je prvi stav istinit i uvek lažan kada je prvi stav lažan.

A i O iskazi nemaju potpunu konverziju jer iz Svi S su P možemo u okviru tradicionalnog kvadrata izvesti Neki S su P, ali obrnuto ne važi, a u savremenom kvadratu ne možemo zaključiti ni na prvi iskaz.. Isto je i sa iskazom Neki S nisu P gde ne znamo da li ima nekih P koji nisu S (pošto je možda tačno Svi P su S)

Obverzija

Obverzija je oblik neposrednog zaključivanja kojim od početnog AEIO iskaza pravimo iskaz iste istinitosne vrednosti, ali koji umesto P ima u sebi negaciju predikata ne-P.

Na primer, obverzija od iskaza Svi glumci su talentovani je Nijedan glumac nije netalentovan, ili Svi muzičari imaju dobar sluh je Nijedan muzičar nije bez dobrog sluha.

Svi AEIO iskazi imaju obverziju. Na primer iskaz A – Svi S su P  ima obverziju u obliku iskaza E – Nijedan A nije ne-P. Obverzija nekog AEIO iskaza ima oblik njegovog par iz logičkog kvadrata koji ima isti kvantitet, a suprotan kvalitet, s tim da je predikat zamenjen njegovom negacijom.To znači da su obverzije AEIO iskaza, EAOI iskazi.

na primer, obverzija od Nijedna cena nije fiksirana je Sve cene su nefiksirane. Obverzija od Neki novinari su objektivni je Neki novinari nisu neobjektivni. Obverzija od Neki psi nisu agresivni je Neki psi su neagresivni.

Kontrapozicija

Kontrapozicija je obverzija konverzije obverzije nekog iskaza. Jednostavnije rečeno, kontrapozicija nastaje kada promenimo mesta subjektu i predikatu i umesto njihove afirmacije, uzmemo njihove negacije ne-P i ne-S.

Na primer, kontrapozicija od Svi političari su moćni  je Svi nemoćni su ne-političari. (Nijedan nemoćan nije političar) ili kontrapozicija od Svi elektroni su naelektrisani je Sve nenaelekrisane čestice se ne-elektroni (Nijedna nenaelekrisana čestica nije elektron).

Pošto A i O iskazi nemaju konverziju, a nastaju obverzijom E i I iskaza koja prethodi u koracima kontrapozicije prethodi konverziji, to znači da E i I iskazi nemaju kontrapoziciju. Tada iskaz A – Svi S su P ima kontrapoziciju u A iskazu Svi ne-P su ne-S (Nijedan ne-P nije S), a O  iskaz Neki S nisu P u O iskazu Neki ne-P nisu ne-S (Neki ne-P su S). Kontrapozicije A i O iskaza su takođe A i O iskazi.

Ako sve oblike neposrednog zaključivanja postavimo u tabelu ona izgleda ovako:

	Konverzija	Obverzija	Kontrapozicija
A – Svi S su P	/	E – Nijedan S nije ne-P	A – Svi ne-P su ne-S
E – Nijedan S nije P	E – Nijedan P nije S	A – Svi S su ne-P	/
I – Neki S su P	I – Neki P su S	O – Neki S nisu ne-P	/
O – Neki S nisu P	/	I – Neki S su ne-P	O – Neki ne-P nisu ne-S

Primeri:

	Konverzija	Obverzija	Kontrapozicija
Sve kvalitetne stvari su skupe.	/	Nijedna kvalitetna stvar nije jeftina.	Sve jeftine stvari su nekvalitetne.
Nijedan papagaj nije jednobojan.*	Nijedna jednobojna životinja nije papagaj.	Svi papagaji su šareni (ne-jednobojni).	/
Neko drveće je endemsko za Srbiju.	Neke endemske biljke u Srbiji su drveće.	Neko drveće koje raste u Srbiji ne može se naći na drugim mestima.	/
Neki majstori nisu uredni.	/	Neki majstori su neuredni.	Neki neuredni ljudi nisu amateri**.

*Ovaj stav, naravno, nije faktički tačan.

** “Amater” je ovde uzeto u značenju “nije profesionalni majstor”.

RASPODELJENOST TERMINA U AEIO ISKAZIMA

Jedna veoma važna osobina pojmova (termina) u iskazu je njihova raspodeljenostkoja se ogleda u tome da iskaz tvrdi nešto o celoj klasi predmeta koji potpadaju pod jedan pojam. Pojam je, dakle, u nekom iskazu raspodeljen ako taj iskaz tvrdi nešto o celoj klasi predmeta koji potpadaju pod taj pojam.

Recimo, ako kažemo “Sve zebre imaju šare” rekli smo nešto o svim zebrama, a ako kažemo “Neki leopardi žive na planinama, u snegu” rekli smo nešto samo o nekim leopardima, tačnije barem jednom leopardu.

Kao što pokazuju i ovi primeri – u prvom primeru se radi o A iskazu, a u drugom o I iskazu –   termini u AEIO iskazima su raspoedeljeni različito.

U A iskazu, raspodeljen je samo subjekt. U gornjem primeru, saznali smo nešto o svim zebrama, ali ne i o svim životinjama koje imaju šare.

To možemo označiti ovako:

Svi S* su P –

gde smo raspodeljeni pojam (termin) označili zvezdicom pored samog termina, a neraspodeljeni znakom minus.

U E iskazu, raspodeljeni su i subjekt i predikat. Ako kažemo da nijedan delfin nije riba, rekli smo nešto i o celoj klasi delfina (da među njima nema riba) i o celoj klasi riba (da među njima nema delfina). Znači:

Nijedan S* nije P*

U I iskazu, nije raspodeljen ni subjekt ni predikat. Iskaz “Neki vernici su šnajderi”, ne govori nam ništa ni o svim šnajderima, ni o svim vernicima.

Neki S – su P-

I u O iskazu, raspodeljen je samo predikat. Ako kažem da neki profesori nisu doktori, nisam saznao ništa o svim profesorima, ali znam da među svim doktorima nema nekih profesora. Dakle,

Neki S- nisu P*

U svakom od AEIO iskaza raspodeljenost pojmova koji stoje na mestu subjekta i predikata je različita.

Da li neki pojam u iskazu bio raspodeljen važno je zbog pravila koja određuju da li je neki zaključak silogizma valjan. Jedno od pravila kaže da termin koji nije bio raspodeljen u premisama, ne može biti raspodeljen u zaključku, a drugo da srednji termin, pomoću koga pravimo vezu između malog i velikog termina, mora biti raspodeljen barem u jednoj premisi.

Ako znamo da prepoznamo kada je pojam raspodeljen, moći ćemo brže i preciznije da odredimo da li je neki zaključak silogizma valjan.

Na primer, silogizam:

Svi delfini žive u vodi.

Sve ribe žive u vodi. → Svi delfini su ribe.

nije valjan, jer srednji termin “živeti u vodi” nije raspodeljen ni u jednoj od premisa, a morao bi biti.

Svi delfini* žive u vodi-.

Sve ribe* žive u vodi-. → Svi delfini* su ribe.

POSREDNO ZAKLJUČIVANJE I SILOGIZMI

Rekli smo već da prema broju premisa i načinu zaključivanja, sva zaključivanja možemo podeliti na neposredna i posredna. Neposredno zaključivanje smo obradili u prethodnoj lekciji. Posredno zaključivanjeje zaključivanje koje polazi od dve ili više premisa i kod koga se neki pojmovi koji se pojavljuju u premisama ne pojavljuju u zaključku. Ovi pojmovi nazivaju se „srednji pojmovi“ i služe kao veza preko koje zaključujemo.

Zaključivanje iz samo dve premise naziva se silogizam i predstavlja osnovni oblik posrednog zaključivanja u klasičnoj logici. Silogizme koji kao premise i zaključke imaju jedan od AEIO iskaza, dakle, iskaze u predikatskoj uređenoj formi, detaljno je opisao Aristotel. Na primer, sledeće zaključivanje je silogizam:

Sve velike mačke su mesožderi.

Svi lavovi su velike mačke → Svi lavovi su mesožderi.

U ovom silogizmu:

Sve velike mačke(M) su mesožderi (P).

Svi lavovi (S)su velike mačke (M) → Svi lavovi (S) su mesožderi (P).

pojam „velike mačke“ igra ulogu srednjeg pojma (koji se obično označava slovom M). On se pojavljuje u obema premisama, a nema ga u zaključku. Osim uloge srednjeg pojma tu su još dve uloge pojmova u silogizmu: P, ili veliki pojam, je pojam koji je predikat u zaključku i u uređenom silogizmu se pojavljuje u prvoj, velikoj, premisi, dok je S, mali pojam, pojam koji je subjekat u zaključku i u uređenom silogizmu se pojavljuje u drugoj, maloj, premisi.

Naš silogizam o lavovima je jedan ispravan (valjan i u širem i u užem smislu), silogizam jer zaključak zaista sledi iz premisa. Ako bi slučajno ređali AEIO stavove koji sadrže veliki, mali i srednji pojam ponekad bi tako poređani stavovi (najpre dve premise, a za njima zaključak, na primer: AA→E) bili ispravni, a ponekad ne bi. Da bi ispravne načine ili oblike zaključivanja odvojili od neispravnih (nevaljanih u užem smislu o kome smo ranije govorili), logičari su odlučili da isprobaju sve moguće kombinacije premisa i zaključaka i izdvoje ispravne oblike. Prvi je to uradio Aristotel, a mi ćemo sada opisati njegov metod.

On je najpre izdvojio moguće kombinacije položaja termina u iskazu i te kombinacije je nazvao figurama silogizma. Pošto je definicijama malog, velikog i srednjeg termina, već uveliko određen njihov položaj u premisama i zaključku, ostalo je samo da se varira redosled termina u premisama. Mogućih kombinacija je bilo četiri, pa zato ima četiri figure silogizma, koje se zovu jednostavno I figura, II figura itd. Evo ih:

I figura	II figura	III figura	IV figura
M – PS – M→ S – P	P – MS – M→ S – P	M – PM – S→ S – P	P – MM – S→ S – P

Naš gornji silogizam o lavovima bio je silogizam I figure, a stavovi u njemu su svi bili oblika univerzalno-afirmativnog iskaza A, odnosno, AA→A. Naravno, ako sada pogledamo kombinacije AEIO iskaza u okviru jedne figure, ispostavlja se da ih ima 64, što ukupno čini 256 kombinacija ili modusa silogizma. Srećom, kada su ispitani svi ovi modusi ispostavilo se da je među njima samo 24 ispravno, a da je 5 od tih 24 takvo da tvrdi manje od onoga što se moglo zaključiti iz premisa (Na primer, mogli smo zaključiti na E iskaz, da Nijedan S nije P, ali umesto toga tvrdimo samo da Neki S nisu P (O iskaz)). Kada se oduzme ovih 5, ostalo je 19 ispravnih modusa. Videćemo da se taj broj može smanjiti za još 4, ali najpre da vidimo kako su logičari razdvojili ispravne od neispravnih modusa.

Da bi videli koji su modusi ispravni, logičari su morali da ustanove neka pravila valjanog silogizma, pa su prema njima određivali i valjane moduse. Ova pravila su pak podeljena u grupu aksioma silogizma, odnosno, pravila koja se ne dokazuju, i teoreme silogizma, koje su pravila koja se mogu dokazati kao važeća, ako važe aksiome. Za aksiome ispravnog silogizma uzeto je ovih pet pravila:

1. Termin (pojam) koji nije razdeljen u premisama, ne može biti razdeljen ni u zaključku.
2. Srednji pojam mora biti razdeljen barem u jednoj premisi.
3. Obe premise ne mogu biti negativne.
4. Ako je jedna premisa negativna, i zaključak je negativan.
5. Ako su obe premise afirmativne, zaključak mora biti afirmativan.

Kao što vidimo, aksiome silogizma se oslanjaju na pojam raspodeljenosti i na kvalitet iskaza (afirmativni, negativni) o kojima smo govorili ranije.

Na osnovu ovih aksioma mogu se dokazati ove osnovne teoreme koji važe za sve figure silogizma:

1. U zaključku mora biti barem za jedan manje raspodeljenih termina, nego što je bilo u premisama.
2. Obe premise ne mogu biti partikularne.
3. Ako je jedna premisa partikularna, i zaključak je partikularan.
4. Premise se ne mogu ređati u kombinaciji IE.

Dokazi ovih teorema nisu teški. Na primer, u zaključku mora biti barem za jedan manje raspodeljenih termina nego u premisama, jer se u premisama nalazi i srednji termin, koji po aksiomi 2, mora biti raspodeljen barem u jednoj premisi, a ne pojavljuje se u zaključku.

Ako primenimo ova pravila na 256 modusa, ostaje onih pomenutih 24. Kao što smo rekli, od tih 24, 5 je takvo da tvrdi manje nego što se može zaključiti, a još 4 modusa predstavljaju zaključivanje iz dve univerzalne premise na partikularan zaključak, što se po savremenom tumačenju logičkog kvadrata ne može činiti, pa broj ispravnih modusa možemo smanjiti na 15.

U srednjem veku, iz mnemotehničkih razloga, ovi modusi su dobili imena u kojima samoglasnici ukazuju od kojih AEIO stavova je neki modus sačinjen. Na primer, gornji modus u kome su i premise i zaključak A stavovi (AA→A) nazvan je BARBARA.

U I figuri, ostala su kao valjana četiri modusa (nazvani su BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO), u drugoj takođe 4 ispravna (CESARE, CAMESTRES, FESTINO i BAROCO) u trećoj takođe 4 (DISAMIS, DATISI, FERISON i BOCARDO) i u četvrtoj još tri (CAMENES, DIMARIS i FRESISON). Slova u ovim imenima i njihova pripadnost nekoj od figura daju preciznu informaciju o kakvom obliku silogizma se radi.

O figurama silogizma govorićemo u sledećoj lekciji.

FIGURE I MODUSI SILOGIZMA

U prošloj lekciji, rekli smo da se broj od 256 mogućih kombinacija AEIO iskaza – modusa silogizma – svodi na 15 ispravnih modusa, po 4 u prve tri figure i tri u četvrtoj. U stvari, ukupno je 24 modusa zadovoljilo aksiome silogizma, ali smo broj 24 smanjili za 9 onih koji zaključuju iz dva univerzalna na partikularan stav, zbog savremenog tumačenja odnosa između univerzalnih i partikularnih stavova.

Ovih 15 preostalih modusa raspoređeni su po figurama na ovaj način:

I figura	II figura	III figura	IV figura
M – PS – M→ S – P	P – MS – M→ S – P	M – PM – S→ S – P	P – MM – S→ S – P
BARBARACELARENTDARIIFERIO	CESARECAMESTRESFESTINOBAROCO	DISAMISDATISIFERISONBOCARDO	CAMENESDIMARISFRESISON

Imena ovih modusa i njihova pripadnost nekoj od figura, precizno nam govore kako će izgledati sam silogizam. Na primer, modus BAROCO II figure, imaće srednji termin na mestu predikata u premisama.

P – M  

S – M

→ S – P

prva premisa će biti A stav, druga O stav i zaključak će biti O stav, kao što su raspoređeni samoglasnici u imenu modusa BAROCO. Dakle:

Svi P su M

Neki S nisu M

→ Neki S nisu P

Među modusima silogizma, najvažniji su modusi prve figure, jer se ostali modusi od 15 preostalih mogu svesti i obično se u klasičnoj logici svode na moduse prve figure. Zato čemo najpre objasniti te moduse.

Prvi modus I figure, BARBARA, sastoji se od tri A stava. Na primer:

Sve velike mačke su mesožderi.

Svi lavovi su velike mačke.

→ Svi lavovi su mesožderi.

Modus BARBARA je jasan slučaj osnovnog pravila silogizma da ono što važi za sve članove neke klase, važi i za članove posebne potklase u okviru te veće klase.

Drugi modus prve figure CELARENT, koristi dakle E i A stav kao premise, a zaključak je E stav. Na primer:

Nijedna velika mačka nije biljojed.

Svi lavovi su velike mačke.

→ Nijedan lav nije biljojed.

Primer za modus DARII može biti ovaj:

Svi lovci imaju dobar vid.

Neki Japanci su lovci.

→ Neki Japanci imaju dobar vid.

A za modus FERIO, ovaj:

Nijedan lovac nije kratkovid.

Neki Japanci su lovci.

→ Neki Japanci nisu kratkovidi.

Aristotel je moduse prve figure smatrao savršenim silogizmima, pa je svođenje modusa drugih figura na moduse prve figure, smatrao dokazom njihove ispravnosti. I mi možemo slediti taj postupak, ne toliko zbog posebnosti prve figure (u stvari su sve ispravne figure jednake), nego zbog toga da pokažemo da se ovih 15 modusa može svesti na manji broj, odnosno da sve njih povezuje ista logika, isti način razmišljanja.

Na primer, lako je videti da modusi FERIO (I figura) i modusi FESTINO; FERISON; FRESISON, zapravo predstavljaju isti stav u kome je variran redosled pojmova, što se ovde može učiniti jer su obe premise sastavljene od E i I stavova, koji imaju potpunu konverziju:

Ova četiri stava potpuno su, dakle, u logičkom smislu, jednaka:

FERIO, I figura: M-PS-M  → S-P	FESTINO, II figura: P-MS-M  → S-P
Nijedan lovac nije kratkovid.Neki Japanci su lovci.→ Neki Japanci nisu kratkovidi.	Nijedan kratkovid nije lovac.Neki Japanci su lovci.→ Neki Japanci nisu kratkovidi.
FERISON, III figura: M-PM-S  → S-P	FRESISON, IV figura: P-MM-S  → S-P
Nijedan lovac nije kratkovid.Neki lovci su Japanci.→ Neki Japanci nisu kratkovidi.	Nijedan kratkovid nije lovac.Neki lovci su Japanci.→ Neki Japanci nisu kratkovidi.

Slično se može pokazati za moduse DATISI i DISAMIS, treće figure, i DIMARIS četvrte figure, koje se mogu svesti na modus DARII prve figure, konverzijom I premise (DATISI) ili konverzijom I premise,  zamenom mesta premisa (DIMARIS) ili konverzijom zaključka i I premise i zamenom mesta premisama (DISAMIS).

Na sličan način se modusi CESARE i CAMESTRES, treće figure, i modus CAMENES četvrte figure mogu svesti na CELARENT, jer i E iskazi imaju potpune konverzije.

Preostali modusi BAROCO, druge figure i BOCARDO, treće figure, mogu se obverzijama i konverzijama premisa svesti na modus FERIO.

Svođenje silogizama drugih figura na silogizme prve figure može biti jedan od načina da ustanovimo da li je neki zaključak ispravan, ili da izvedemo ispravan zaključak.

Druga dva načina su da upotrebimo Ojlerove ili Venove dijagrame.

OSNOVNE TAUTOLOGIJE U ISKAZNOM RAČUNU

Iako je izbor osnovnih tautologija nužno relativan, neke tautologije se mogu izdvojiti kao najvažnije u iskaznom računu, bilo zbog toga što opisuju tradicionalne zakone mišljenja bilo zbog toga što su nezaobilazne u pojednostavljivanju formula. Sada ćemo ih navesti:

Zakoni mišljenja:

Zakon neprotivrečnosti:  ¬ (p ∙ ¬ p)

Zakon isključenja trećeg:  p v ¬ p

Ova dva zakona izdvojeni su još od strane Aristotela kao osnovni zakoni mišljenja. Zakon neprotivrečnosti utvrđuje kao osnovno pravilo da ne treba istovremeno tvrditi neki iskaz i njegovu negaciju, odnosno da je takva konjukcija uvek netačna. A zakon isključenja trećeg kaže da od dve mogućnosti koje su sadržane u nekom iskazu i njegovoj negaciji jedna mora biti tačna, pošto treća mogućnost ne postoji.

Pravila o konjukciji i disjunkciji

Sledeća pravila važe za konjukciju i disjunkciju, a opisana su preko tautologija koje su u osnovi ekvivalencije:

Pravilo komutacije:

p ∙ q = q ∙ p

p v q = q v p

Pravilo idempotencije:

p ∙ p = p                        p v p = p

Pravilo asocijacije:

p ∙ (q ∙ r)  = (p ∙ q) ∙ r

p v (q v r)  = (p v q) v r

Pravilo distribucije:

p ∙ (q v r)  =  (p ∙ q) v (p ∙ r)

p v (q ∙ r)  =  (p v q) ∙ (p v r)

Pravilo apsorpcije:

p ∙ (p v q) = p

p v (p ∙ q) = p

Da opišemo ukratko ova pravila. Pravilo komutacije kaže da se mesta članova konjukcije i disjunkcije mogu zameniti, a da se ne promeni njena vrednost (na primer, implikacija nija komutativna). Pravilo idempotencije kaže da je dva puta tvrditi neki iskaz bilo u konjukciji ili u disjunkciji isto što i jednom tvrditi taj iskaz. Pravilo asocijacije da se zagrade u konjukcijama i disjunkcijama mogu pomerati. Pravilo distribucije da se konjukcija i disjunkcija ponašaju kao množenje i sabiranje u običnoj algebri p ∙ (q+r) = pq + pr. Pravilo o apsorpciji da u gornjoj kombinaciji q ne utiče na vrednost iskaza koji je identičan sa p.

Pravila transformacije logičkih operacija

Važno je  znati kako se jedna logička operacija može svesti na neku drugu, ili kada se poništava kao u pravilu o dvostrukoj negaciji:

¬ ¬ p = p

Pravilo o ekvivalenciji:

(p = q) = (p → q) ∙ (q → p)

ekvivalencija je jednaka konjukciji dve implikacije, kao u gornjoj formuli.

Pravilo o implikaciji:

p → q = ¬ p v q

prema gornjoj formuli se implikacija može zameniti disjunkcijom negacije antecedensa i konsekvensa implikacije.

De Morganovi zakoni:

¬ (p ∙ q) = ¬ p  v ¬ q

¬ (p v q) = ¬ p ∙ ¬ q

koji opisuju kako se vrši negacija konjukcija i disjunkcija.

Osim ovih tautologija koje su ekvivalencije, važne su i tautologije koje su implikacije:

((p → q) ∙ p)  → q        (modus ponens)

((p → q) ∙ ¬ q)  → ¬ p       (modus tollens)

((p → q) ∙ (p→ ¬ q)) → ¬ p           (reductio ad absurdum)

 

DEFINICIJE LOGIČKIH OPERACIJA

U prethodnoj lekciji upoznali smo se sa interpretacijom logičkih operacija (logičkih veznika) u svakodnevnom jeziku. Njihova precizna definicija data je preko istinitosnih tablica koje određuju kada je složeni iskaz koji nastaje logičkom operacijom istinit, a kada nije.

Istovremeno, ove tablice su neophodne za izračunavanje vrednosti složenih iskaza. Evo tih defincija:

Negacija (znak ¬ ) je ona logička operacija koja primenjena na neki iskaz daje iskaz suprotne istinitosne vrednosti. Dakle, kad je iskaz istinit, njegova negacija je neistinita i obrnuto. U tablici, to izleda ovako:

p	¬ p
┬	┴
┴	┬

Konjukcija (znak ∙ ) je ona logička operacija koja primenjena na dva iskaza daje iskaz koji je tačan samo ako su oba iskaza u konjukciji tačna, a netačna u svim drugim slučajevima. Iskaze u konjukciji možemo zvati “konjukti”.

p	q	P · q
┬	┬	┬
┬	┴	┴
┴	┬	┴
┴	┴	┴

Disjunkcija (znak V ) je ona logička operacija koja je netačna samo ako su oba iskaza u disjunkciji netačna, a tačna u svim drugim slučajevima:

p	q	P v q
┬	┬	┬
┬	┴	┬
┴	┬	┬
┴	┴	┴

Implikacija  (znak → ) je logička operacija koja je netačna samo ako je prvi član implikacije (antecedens) tačan, a drugi član (konsekvens) netačan. Po ovome je implikacija slična svakom valjanom zaključivanju: nesitinit zaključak ne sme slediti iz istinitih premisa.

p	q	P → q
┬	┬	┬
┬	┴	┴
┴	┬	┬
┴	┴	┬

Ekvivalencija (znak = ) je ona logička operacija koja je tačna samo ako iskazi u ekvivalenciji imaju istu istinitosnu vrednost, odnosno, ako su oba tačni ili oba netačni:

p	q	P = q
┬	┬	┬
┬	┴	┴
┴	┬	┴
┴	┴	┬

Na ovaj način iskazne operacije su precizno definisane.

U iskaznom računu moguće je definisati 16 binarnih operacija. Definicije ovih 5 osnovnih operatora, kao i druge definicije u logici (a i matematici), stvar su dogovora. Međutim, od ovih dogovora kasnije zavisi sve i oni se moraju poznavati da bi se odredila istinitosna vrednost bilo koje složene formule u iskaznom računu.

 

METODA ISTINOSNIH TABLICA

Metoda istinitosnih tablica je drugo ime za izračunavanje vrednosti složenih formula za sve kombinacije isitinitosnih vrednosti iskaznih promenljivih. Definicije logičkih operacija iz prošle lekcije su takođe male istinitosne tablice. Ako znamo ove tablice koje definišu vrednosti složenih iskaza koji nastaju logičkim operacijama možemo da izračunamo vrednost svake složene formule koja sadrži te operacije za svaku moguću vrednost iskaznih promenljivih.

Samo izračunavanje izgleda ovako:

p	q	p → (p ∙ q)	Izračunatakonjukcija u zagradi	vrednost složene formule(izračunata implikacija)
┬	┬	┬→ (┬∙┬)	┬→  ┬	┬
┬	┴	┬→ (┬∙┴)	┬→┴	┴
┴	┬	┴→ (┴∙┬)	┴→┴	┬
┴	┴	┴→ (┴∙┴)	┴→┴	┬

Dakle, kada koristimo metodu istinitosnih tablica, najpre napišemo sve kombinacije vrednosti iskaznih promenljivih (kombinacija uvek ima 2ⁿ, ako je n broj promenljivih), zatim, zamenimo te vrednosti u formuli i onda najpre izračunamo zagrade, a onda i celu formulu postupno.

Gornja formula je za jednu kombinaciju bila netačna, a za ostale kombinacije tačna.

Ako je formula tačna za sve kombinacije istinitosnih vrednosti iskaznih promenljivih ona jetautologija.

Ako nije tačna za sve kombinacije istinitosnih vrednosti iskaznih promenljivih ona jekontradikcija.

Ako je formula tačna bar za jednu kombinaciju istinitosnih vrednosti iskaznih promenljivih, formula je zadovoljiva.

Ako je formula nije tačna bar za jednu kombinaciju istinitosnih vrednosti iskaznih promenljivih ona je oboriva formula.

Iz ovih definicija sledi da su sve tautologije zadovoljive formule, ali da sve zadovoljive formule nisu tautologije, a sličan odnos je i kod kontradikcija: sve kontradikcije su oborive formule, ali sve oborive formule nisu kontradikcije. Jedna formula može istovremeno biti i zadovoljiva i oboriva.

Metoda istinitosnih tablica može se primeniti na svaku formulu. Ova formula je na priimer tautologija:

p	q	p → (p v q)	Izračunatadisjunkcija u zagradi	vrednost složene formule(izračunata implikacija)
┬	┬	┬→ (┬v┬)	┬→  ┬	┬
┬	┴	┬→ (┬v┴)	┬→┬	┬
┴	┬	┴→ (┴v┬)	┴→┬	┬
┴	┴	┴→ (┴v ┴)	┴→┴	┬

a ova kontradikcija:

p	q	(p → q) ∙ (p ∙ ¬q) (izračunata negacija q)	Izračunatezagrade	vrednost složene formule(izračunata implikacija)
┬	┬	( ┬ → ┬) ∙ (┬∙┴)	┬∙  ┴	┴
┬	┴	( ┬ → ┴) ∙ (┬∙┬)	┴ ∙ ┬	┴
┴	┬	( ┴ → ┬) ∙ (┴∙┴)	┬ ∙┴	┴
┴	┴	( ┴ → ┴) ∙ (┴∙┬)	┬∙┴	┴

Na ovaj način možemo odrediti da li je neka formula tautologija ili kontradikcija ili ni jedno ni drugo (kontingencija)

 

PREVOD: David Cope – intervju

prevod intervjua preuzetog sa: www.spectrumpress.com

David Cope (1941) je američki kompozitor, naučnik i profesor muzike na Kalifornijskom univerzitetu (Santa Cruz). Veštačka inteligencija i muzika su mu glavna polja istraživanja – bavi se pisanjem programa i algoritama koji mogu analizirati muziku i stvarati nove kompozicije u stilu muzike koja je unesena kao input. Poznat je po softveru EMI (Experiments in Musical Intelligence) koji je napravio preko stotinu dela u stilovima različitih kompozitora – od kratkih komada do opera.

 PdS: Koje je vaše shvatanje muzike?

DC: Pod pretpostavkom da niste pitali „šta je ’dobra’ muzika“, smatram da je muzika (uz dužno poštovanje Varezea) ’oranizovani zvuk i tišina’.

Šta čini ’dobru’ muziku?

Ravnoteža jedinstva i raznolikosti.

Šta zahtevate od muzike?

Red posred haosa.

Da li vaša muzička misao prihvata i da li teži lepoti?

Ne. Lepota znači razne stvari raznim ljudima; zapravo, znači različite stvari jednoj istoj osobi zavisno od situacije. Kad bih u svom radu zavisio od osećaja za lepotu, nikad ništa ne bih završio.

Može li algoritam stvoriti izražajnu (ekspresivnu) muziku?

Ne znam nijedan komad izražajne muzike koji nije komponovan, na ovaj ili onaj način, algoritmom.

Šta je ’izražajna’ muzika?

Sudeći prema mom rečniku, jedno od značenja ’izražajnosti’ je „pokazivanje osećanja ili karaktera.“ Ništa se ne kaže o nameri ili o zajedničkoj reakciji na izražajnost. Prema tome, po mom shvatanju, izražajnost je ono što ja primam od muzike kada ’osetim’ nešto u reakciji na nju. To što osećam ne treba da bude kompozitorova namera niti neko drugi treba da oseti isto. Sva druga značenja koja se pripisuju ’izražajnosti’ u mom rečniku odnose se na reči, tako da se ne mogu primeniti na muziku.

Pošto ono što neko ’oseća’ kao odgovor na muziku nema obaveznu neposrednu vezu sa onim što je kompozitor nameravao da izrazi, niti sa onim šta drugi mogu ’osetiti’ … postoji li prava muzička izražajnost (expression)?

Mislim da smo se izgubili u semantici po pitanju reči  ’izražajnost.’ Želim da reč znači ’izražajno’ u smislu muzičkog temina ’espressivo’ gde neko treba da bude izražajan po pitanju nota koje izvodi. Termin je čudesno maglovit. Ako postavim stvar polemički, jedina ’istinska izražajnost’, prema mojoj definiciji, bila bi ona koja nema neposrednu vezu sa namerama (shodno tome, jedina istinski ’pogrešna’ izražajnost bila bi ona gde se slučajno poklapaju primljena i nameravana izražajnost). Žao mi je zbog igre reči ali, prosto rečeno (ostavimo izražajnost po strani), ne verujem da muzika komunicira, ili da činjenica da sam ’pokrenut’ nekom muzikom znači bilo šta osim da sam pokrenut njome (verovatno slično kao što sam sada ’pokrenut’ maglom koja se diže sa okeana – niti ima namere niti čak i pomišljam da drugi ljudi vole maglu…)

Šta je muzička inventivnost?

Sposobnost  da se prepliću melodije, harmonije, boje, artikulacije, dinamike, ritmovi, forme i tako dalje, na način koji prikriva njihovo pravo poreklo i zbog toga zvuči originalno.

Šta je muzički sklad?

Mislim da je moj odgovor na to pitanje isti kao malopređašnji: ravnoteža jedinstva i raznolikosti.

Da li kažete da ‘dobra’ muzika može biti jedino proizvod skladne inventivnosti?

Pa, svakako smatram da doprinosi dobroj muzici. Ne mogu da zamislim dobro muzičko delo kome manjka skladna inventivnost.

Postoji li muzička razlika između skladne inventivnosti i inventivnog sklada?

Naravno, i oboje su divni!

Kako bi trebalo obrazovati savremenog kompozitora?

Teoretski deo bi bio:

(1)   veštine – pevanje, slušanje, sviranje;

(2)   muzika – materijal za časove bi bio samo muzika;

(3)   algoritmi – studenti i učitelj bi proučavali i izvodili muziku da bi izvukli algoritme koje je kompozitor koristio da bi napravio tu muziku.

Komponovalački deo bi bio:

Upotreba veština, muzičkog znanja i algoritama da bi u početku komponovali muziku u postojećim stilovima i formama, ne bi li polako iz ovog procesa proistekli njihovi vlastiti stilski algoritmi.

Da li kompozitor koji se obrazuje na standardnom američkom univerzitetu dobija ovo što ste upravo pomenuli?

Uglavnom ne. Uopšteno govoreći, američki univerzitetski muzički programi su previše fragmentirani, tj. nisu integrisani, jer jedan učitelj predaje čitanje, drugi solfeđo, treći teoriju, četvrti klavir. Često se obuka iz ovih predmeeta odvija neujednačeno te je veoma teško za studenta da shvati kako su oni povezani. Takođe, teorija se najčešće predaje kao niz generalizovanih pravila koja zabranjuju ono što su kompozitori zapravo činili. Pravila su često izražena kao definitivna umesto kao aproksimativna i studenti ostvaruju samo akademske i često beskorisne rezultate. Studenti se retko ohrabruju da povežu ono što rade sa aktualnom literaturom tako da časove doživljavaju kao časove matematike a ne muzike. Neke vaštine se sigurno steknu ali se brzo zaboravljaju jer su razdvojene od realnosti. Retko mladi kompozitori dobijaju priliku da oblikuju muziku osim muzike iz prošlosti. Retko se diskutuje o stilu. Termin algoritam se često smatra naučnim i ignoriše se.

Zaključili ste vaš članak „On Algorithmic Representations of Musical Style“ (Cope 1992), sledećom rečenicom: „Muzika možda jeste a možda nije univerzalni jezik, ali evidencija da jeste jezik čini se suštinska.“ Da li smatrate, kao što je dokazala moderna lingvistika svojim konceptom generativne gramatike, da postoje slična biološka ograničenja u našem mozgu za obrađivanje muzike, sve muzike, nezavisno od kulturnih obeležja?

Primetite da ja koristim reči „možda jeste a možda nije“ i „čini se suštinska“ kao oprezne sugestije pre nego li činjeničke stavove. Stav da je „moderna lingvistika dokazala“ čini se, s druge strane, kao prejak. Imajući u vidu današnja otkrića u vazi sa genomom, mozgom i psihologijom, sumnjam da je bilo ko ’dokazao’ bilo šta u vezi sa mozgom. Ono što ja mislim da sam izrazio u svojoj izjavi jeste da mi ’procesiramo’ tonske visine, glasnoću, ritmove, promene i artikulacije muzike sa istim ’procesorima’ koje koristimo za jezik. Mešavina bioloških i iskustvenih uticaja na naše mišljenje je toliko složena i individdualna da je možda nikada nećemo u potpunosti razumeti. Kakogod, nadam se da uprkos tome da postoje nejasne urođene reakcije na konsonancu i disonancu, mi nismo unapred programirani da težimo, na primer, tonalnoj pre nego atonalnoj muzici. Nažalost, čak i studije na velikim univerzitetima po pitanju dečje reakcije na konsonancu i disonancu beznadežno su opterećene predubeđenjem (Bio sam prilično blizak skorašnjoj takvoj studiji na Hardvardu recimo).

U samoj srži EMI-ja je ideja o rekombinaciji. Da li kompozitor komponuje ili rekomponuje?

Muzička kompozicija se sastoji od onoga što mi čujemo i onoga što nosi formalizam kog unosimo. Ako komponujem slobodno (u smislu da nemam unapred zadate glasove, dozvoljene visine i sl.), onda ću najverovatnije integrisati razne ideje koje sam prethodno čuo. Ako komponujem delo strogo se držeći matematičkih formula, onda ono što radim nije re-komponovanje muzike koju sam čuo već sleđenje strogih ravila. Većina muzike predstavlja kombinaciju ova dva faktora. Ideja da ljudi imaju neku vrstu mističke veze sa svojom dušom ili Bogom i slično, koja im omogućava da proizvedu sasvim originalne ideje (koje nisu rezultat rekombinacije ili formalizma) meni izgleda besmisleno.

Sadrži li termin ‘rekombinacija’ implicitnu genetsku metaforu?

Termin rekombinacija sigurno ima biološku relevanciju. Ipak, ja ga koristim da označim dve ili više ideja koje se kombinuju da stvore novu ideju.

Da li razmišljate o muzičkoj rekombinatorici kao o biološkom ograničenju ljudskog uma?

Ne.

Ako bih rekombinovao, ručno, najnovije radove Dejvida Koupa, kome bi pripala autorska prava – vama ili meni?

To bi zavisilo od veličine i broja rekombinacija. Obrtanje redosleda dve polovine nekog mog dela bilo bi plagijat. Komponovanje novog dela na prva četiri tona neke od mojih kompozicija ne bi bio plagijat. Postoji, naravno, skoro beskonačan broj gradacija između ova dva ekstrema i negde u sredini stvari mogu postati prilično sive. Odluka o ovome bi se morala donositi od slučaja do slučaja.

Deo uspešnosti EMI-ja leži u izboru i pripremi dela koja predstavljaju bazu podataka. Ako bih od muzike Dejvida Koupa pripremio bazu podataka za EMI da je rekombinuje – ko bi bio autor? Vi, EMI, ja ili svo troje?

Odgovor je isti kao gornji. Ako je veličina uzorka koji prrogram koristi mala, onda zasluga ide vama, ako je veličina uzorka toliko velika da su znatni segmenti mog rada doslovce prisutni, onda bi to verovatno predstavljalo skrnavljenje mog rada.

Da li EMI ikada pravi plagijat u procesu reombinacije muzičkog materijala?

Puštam sud da odluči o tome. Uopšteno govoreći, razlika leži u dva faktora koje smo pominjali – veličini i broju pozajmljenog materijala. Kakogod, primetićete da većina kompozitora plagiraju desetine ako ne i stotine dela u jednom jedinom komadu, i većina to radi nesvesno. Ovo je kreativnost, ili bar deo kreativnosti. Kompozitor koji pozajmljuje svesno od nekog dela je ili plagijator ili stvara skup varijacija (o čemu je reč najčešće se vidi iz naslova dela).

Kako bi EMI radio sa strogo dvanaestotonskom muzikom kao inputom, recimo, sa bazom podataka sačinjenom od Webern-ovih radova? Da li bi se princip rekombinacije mogao artikulisati sa takvim striktnim dvanaestotonskim delima? Da li red preživljava rekombinaciju?

Ne. Kao i u slučaju fuga, izvesni formalizmi ne rade lako sa rekombinacijom i zahtevaju dodatne kodove za analizu i komponovanje.

Nezavisno od prepoznavanja stila EMI kompozicija, šta mislite, zašto su mnogi slušaoci pokrenuti ovim radovima?

Svako muzičko delo, osim ako je u potpunosti nastalo formalizmom, sadrži u sebi mnoge nagoveštaje muzičke kulture koja je uticala na njegovo stvaranje. Ovi nagoveštaji, bilo da se radi o pravilima, aluzijama, osobenim crtama i tako dalje, pomažu nam da uspostavimo odnos sa tim delom čak i kada ga čujemo prvi put. Ovi nagoveštaji takođe upućuju na druge stilove i dela koji i sami sadrže nagoveštaje koji nam daju bogatu i duboku istoriju kulturne evolucije dela koje slušamo. Muzika EMI-ja, zbog manira na koji komponuje, takođe ima ove nagoveštaje i pripada kulturi i tradiciji muzike koja se nalazi u njegovoj bazi podataka. Verujem da ovo objašnjava zašto EMI radovi izazivaju gotovo trenutni osećaj prisnosti kod ljudi kojima je bliska nasleđena muzička kultura, čak i kod onih koji se žestoko opiru takvoj prisnosti.

Ovaj intervju je rađen putem e-pošte od avgusta 2002. do  juna 2003. Prvi se pojavio u: da Silva, Patricio. David Cope and Experiments in Musical Intelligence.2003

Hipotetičko-deduktivni (aksiomatski) sistem

Hipotetičko-deduktivni (aksiomatski) sistem

Vavilonci i Egipćani su imali mnogo informacija o merenju zemljišta i konstruisanju građevina, o geometrijskim figurama i računanju sa celim brojevima i razlomcima, ali oni nisu imali nauku o geometrijskim i algebarskim predmetima (figurama, brojevima itd.). Kod njih nije postojala matematika kao nauka, jer matematičke sudove nisu sistematizovali/strukturisali u teoriju. Ideja nauke je doprinos starih Grka.

Logički dokaz sastoji se u dokazivanju da je jedan sud logički nužna posledica drugih sudova, tj. da logički nužno sledi iz drugih sudova. Ili, da je jedan sud u logičkoj relaciji implikacije sa drugim sudovima, ili da jedan sud predstavlja konkluziju, a drugi sudovi njegove premise. Logički dokaz ekvivalentan je zaključku. Logičkim dokazom se ne utvrđuje istinitost suda.

Svi sudovi jednog sistema ne mogu biti logički dokazani. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da svi sudovi jednog sistema mogu biti logički dokazani. Pretpostavimo da treba logički da dokažemo skup sudova A. A će biti logički dokazan ako logički nužno sledi iz nekog nepraznog konačnog skupa sudova B.

Skup sudova B ne sme da sadrži A, jer u protivnom činimo grešku petitio principii (anticipiranje principa). Ova greška nastaje onda kada je teza ili konkluzija koja treba da se dokaže implicitno ili eksplicitno pretpostavljena/sadržana među argumentima ili premisama.

Petitio principii. Primer: „Moj sin nikada nije razbio ničiji prozor. Prema tome nije razbio ni vaš prozor.“ Očito, teza „moj sin nikada nije razbio ničiji prozor“, implicitno sadrži tezu „moj sin nije razbio vaš prozor“, pa prema tome već pretpostavlja ono što treba da se dokaže. Petitio principii predstavlja i čuveno objašnjenje iz Molijerovog “Uobraženog bolesnika” da “opijum zato uspavljuje što u sebi ima moć uspavljivanja”.

Dalje, budući da prema pretpostavci svi sudovi jednog sistema mogu biti logički dokazani, možemo dokazati sudove koji su elemnti skupa B. Imamo dve mogućnosti, ili da skup B dokazujemo preko A, ili da skup B dokazujemo preko nekog drugog nepraznog skupa sudova C. Ako B dokazujemo pomoću A preko pravimo logičku grešku koja se zove circulus vitiosus.

Circulus vitiosus. Ova greška sastoji se u tome što za dokazivanje teze navodimo jedan stav koji se sa svoje strane može dokazati tek pomoću dokazivane teze. Dekart tvrdi da je očevidno da Bogu, budući da je savršeno biće, pripada i odlika egzistencije. Naime, Bog ne bi mogao biti savršen ako ne bi egzistirao, jer je savršenije ono što egzistira od onoga što ne egzistira. S druge strane, Dekart dokazuje da su očevidni stavovi istiniti, jer nas Bog nije mogao stvoriti takvima da se varamo u očevidnim stavovima. Prema tome, egzistencija Boga se dokazuje time što su očevidni stavovi istovremeno i istiniti, a sama ova teza se dokazuje polazeći od teze o egzistenciji Boga.

Prema tome, skup sudova A moramo dokazivati preko skupa sudova B, ovaj preko skupa sudova C itd. Time zapadamo u tzv. regressus ad infinitum, ili u beskonačni regres.

Dakle, kako bismo izbegli petition principii, criculus vitiosus ili regressus ad inifinitum, neki stavovi moraju ostati logički nedokazani. Ovakve stavove koji nisu logički dokazani, a koje pretpostavljamo kako bismo polazeći od njih logički dokazali preostale stavove jednog teorijskog sistema, nazivamo aksiomima ili postulatima. Stavove koji su nužne logičke posledice aksioma, tj. postulata nazivamo teoremama. Teorijski sistem čiji su jedini elementi postulati i teoreme nazivamo hipotetičko-deduktivnim sistemom. Hipotetičkim, jer su aksiomi/postulati pretpostavljeni, tj. nisu logički dokazani. Deduktivnim, jer su teoreme konkluzije deduktivnog zaključka čije su premise aksiomi/postulati, i/ili već dokazane teoreme. Svi matematički i logički sistemi su hipotetičko-deduktivni.

Hipotetičko-deduktivni sistem mora biti koherentan da bi bio deduktivan. Nije dovoljno, međutim, da sistem bude koherentan da bi bio istinit, već je neophodno da i njegove aksiome budu istinite.

Tradicionalno gledište tvrdi da aksiomi nisu dokazani zato što njima dokaz nije ni potreban. Njihova istinitost je, prema tradicionalnom stanovištu, samoočigledna. Pred kraj devetnaestog veka obično se verovalo da aksiomi izražavaju neke očevidne istine fizičkog sveta. Npr. smatralo se da prvi postulat Euklidove geometrije koji kaže da “jedna prava linija može da se povuče od bilo koje tačke do bilo koje druge tačke” izražava određena svojstva fizičkog prostora, tj. elemenata fizičkog prostora, tačaka i linija. Mi, navodno, neposredno uviđamo da se prostor sastoji od tačaka i linija koji imaju upravo takva svojstva. Međutim, mi moramo razlikovati dva pitanja: 1) da li su aksiomi istiniti, i 2) da li su teoreme logičke posledice aksioma. Odgovor na prvo pitanje ne može se dati na osnovu same logike. Odgovor na drugo pitanje utvrđuje se primenom logičkih metoda, tj. može se dati unutar logike.